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【中3 二次関数 指導案】かいて、予想して、概形をつかめ!

指導案

二次関数、みなさんはどんな導入で入りますか?

私は、二次関数は、グラフの形を掴ませることを単元の1番最初にもってきます。

みなさんはどのように授業を行っていますか?

二次関数は子どもにとって初めて見る形

二次関数は、いままでのグラフの学習とは大きく異なります。

それは、曲線でグラフをかくことになるからです。

もちろん定規は使いません。

高校になると、平行移動もあって、方眼紙の上にかくこともしなくなりますよね。

なので、中学校でも概形を掴めてればいいのではないかなと思ってます。(テストにはいくつか方眼紙上にかかせますが)

 

授業の最序盤、二次関数は、y=ax2
の形で表せることを紹介し、いきなり

「グラフをかいてみよう」

と提案をします。

「aは比例定数です。ここの数字が色々変わって、比例や、一次関数の時のようにいろんな形のグラフが現れます。aの値を決めて!」

と話すと子どもは、5だったり、2だったり、へそ曲がりな子は0.5とか言い出します。

そこで、

「今みんなが言った比例定数で二次関数のグラフをかくけど、どれからかく?」

と尋ねます。

きっとこの中からなら、a=2を選びます。

理由は、この中では一番単純そうだから。

そうやって、子どもがかくグラフを決めることで、やらされ感が少なくなっていきます。

 

さらに、

「どうやってかく?」

と尋ねると、

「表をかいて、xとyの値をだして、点をプロットする」

と言います。

これをすることで、表からグラフの概形を考えたり、プロットした点から、概形を想像したりするようになります。

さて、点をプロットしたあと、

「どんな形?」

と子どもに聞くと、

「直線でかけそうにない、定規で引いてもいいの?」

と聞かれるので、時間があればxが1と2の間も点をプロットさせます。(なかなか時間も取れないので、曲線機なることを想像させて、フリーハンドでかいていいことを伝えます。)

 

2つ目のグラフをかこう

「次はaがいくつの時のグラフをかく?」

と聞きます。

aの値をかくその前に、必ず

「どんな形になるかな?手でジェスチャーしてみましょう」

と伝えます。

きっと、下に凸の放物線をかくはずです。

特に、曲線が緩やかな放物線だったり、急な放物線をかいてる生徒がいたら

「すごく緩やか(急な)Uをかいたね。なんで?」

と聞いておくと、授業の最後に、比例定数と二次関数の概形まで突っ込んで子どもが考えられます。

 

1度まとめをしよう

その後もいくつかグラフをかかせます(負の数が出てこなければなおよいです)

そして、

「グラフをかいて気づいたことをまとめよう」

と発問します。

反応例として、

  • 必ず原点を通る
  • 曲線
  • Uの時の形
  • 比例定数が、大きくなれば曲線は急に。小さくなれば、緩やかになる。(小数ならもっと緩やかになる)
  • だんだんyの値の上がり幅が大きくなる

などとでできます。

また、

  • 方眼の下の部分(第三象限、第四象限)には、グラフが来ることがないのかな?

という疑問も出てきます。

 

第三象限、第四象限にグラフは出てくるのかな?

ここまで出てきたら、

「方眼の下に、二次関数のグラフはでてこないのかな?」

と尋ね、あとは子どもに任せましょう。

 

比例定数の部分に負の数を必ず入れてくるはずです。

もし、前部分で、小数や分数のアイデアが出てこなかったら、それを入れる子どももでてくるでしょう。

そうやって、自分の力でグラフをかかせます。

そして、確かめさせるのです。

 

二次関数をかくことのまとめ

最後にもう一度まとめをし直します。

  • 原点を通ること
  • 形はU字
  • $y$軸で線対象になること(半分かけば、グラフがかける)
  • $a>0$ならば上に開いている(下に凸)、$a<0$ならば、下に開いている(上に凸)
  • 比例定数の絶対値が同じならx軸で線対称になっている。

これだけでてこれば完璧です。

逆にこれが出てくるくらいはグラフをかかせるべきだと思います。

子どもは完璧には言えないので、上手く先生が補ってください。

逆に線対称とか、原点とか数学用語をきっちり使えたら、しっかり褒めましょう。

また、ポイントとして、1つの座標平面にいくつもグラフをかいていくのが良いです。

模様が出てきて面白くなりますし、比較しやすくなります。

ぜひ、ノート1ページ使って、グラフをかいていきましょう。

 

授業のポイント

・比例定数を子どもに決めさせる
・ノート1ページつかって座標平面を書き、その上にたくさんグラフをかかせる
・グラフの概形を予想させながら、かかせる
・まとめを子どもの言葉を活かしながらしていく。特に比例定数が正の数か負の数かで比べると、効果的!

中1 比例の単元でも、中2 一次関数の単元でも同じように授業できます。

⇓こちらの記事をご覧ください⇓

スーさん
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