二次方程式の進め方、皆さんどうされていますか？
二次方程式を、因数分解や、$ax^2=b$のパターンを解いていくのは、今までの学習を使って計算を進めていくので納得いくのですが、解の公式を導くために平方完成を無理やり入れて、学習を進めていくことにずっと違和感がありました。
ただ、入試にも出るため、解の公式を押さえないわけにはいきません。
教科書の順序と入れかえて、私はこんな単元構想でやってます。
皆さんはどうお考えですか？
啓林館の教科書における2次方程式の学習の流れ
- $ax^2=b$の解き方
・$ax^2=b$
・$ax^2-b=0$
・$(x+m)^2=k^2$
・$(x+m)^2=m$ - $x^2+px+q=0$の解き方
・$(x+m)^2=n$（平方完成）の形にする
・二次方程式の解の公式 - 二次方程式と因数分解
・$(x+a)(x+b)=0$の解き方
・因数分解の公式を利用した2次方程式の解き方
と進んでいきます。
単元の途中で二次方程式の解の公式が入ります。
ここがどうにも苦になっています。
一度ここで学習の連続がストップしている気がするのです。
二次方程式の導出
二次方程式の導出は以下のようになります。
この中で平方完成を行うのですが、無理やり感がありますよね。
本当なら2次関数の平行移動の場面で、軸や頂点を決定するときに平方完成を使います。
二次関数で平方完成を扱うなら、図もイメージしやすいし、意味が感得できると思います。
どうしても2次方程式で取り扱うと、取って付けた感がでてきます。（判別式の話までつなげれば意味が出てくると思うのですが、中学校ではそこまでやれないので）
スーさんの2次方程式における単元の流れ
- $ax^2=b$の解き方
・$ax^2=b$
・$ax^2-b=0$
・$(x+m)^2=k^2$
・$(x+m)^2=m$ - 二次方程式と因数分解
・因数分解の公式を利用した2次方程式の解き方 - $x^2+px+q=0$の解き方
・$(x+m)^2=n$（平方完成）の形にする
・二次方程式の解の公式
私は、啓林館（上記）の2番と３番を入れかえて指導をしています。
理由は、先ほども述べましたが、平方完成だけは既習事項と乖離しています。
また、因数分解という今まで慣れ親しんだ武器を使わずに、後回しに教えるのは、生徒の心情的にもすんなりいかないのでは？と思うからです。
流れ
１.$ax^2＝b$では、前単元での平方根の流れがあるのでスムーズに取り扱えます。
特に私はこの丸太の問題（以下の記事参照）を引き合いに出しながら、学習を進めていきます。
2.二次方程式と因数分解では、
「2次の方程式って、$x^2+3x+2=0$みたいなのも2次方程式といえるよね。これだったら解けるかな？」
と生徒にふっていきます。
因数分解とつなげて、左辺を$(x+a)(x+b)=0$と式変形できれば、解が見えやすいと感じさせることができます。
そして、公式を使った因数分解に慣れたところで、$3x^2-5x-1=0$のような問題を取り扱います。
ここで、今までの学習内容では、太刀打ちできない。
新しい方法を見つけたい、知りたいとなるので、解の公式の必要性が子どもの中で一層高まると思うからです。
結局、解の公式は「覚えてね」としてしまいますが、二次方程式の解き方を判断する時、
①因数分解できるか
②$(x+m)^2=n$の形で、平方根を取って解を求められるか
③ ①と②でどうしても思いつかなかったら解の公式
という流れをふむと思います。
平方完成して計算する意味が薄いので、平方完成をわざわざして方程式の解を求めるパターンは省略して進めていってしまっています。
まとめ
単元をつくるときに意識をしていることは、とにかく学習の流れが既習の流れを邪魔せず、繋がっているかを意識します。
どうしても既習の流れからはみ出ることがありますが、その飛躍を少しでも少なくできるように心を配っています。
啓林館からは、「展開・因数分解」、「平方根」、「二次方程式」の指導順序についての留意点が公表されていました。
こちらも読んでいただけると、さらに教材研究が深まると思います。（2024.08.30現在 リンクが切れてしまいました。2025年度教科書が改定される影響かと思われます。）
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/chu/keyproject/pdf/sugaku_3nen1_03.pdf
二次方程式についての他の記事はこちら！
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