【中学校１年生⠀比例　指導案】負の数のあるグラフ・放射状の模様作り

中学校1年生 比例の学習の肝は

｢負の世界への拡張｣

です。

負の値を習ったことで比例定数が負の値を取れるようになります。

そうすると$x$軸、$y$軸が負の値まで拡張されます。

学習の順序としては、比例定数は正の値のままで、$x$がを負の値をとると･･･と、座標軸を拡張していきます。

二次関数の時も書きましたが、グラフをかくなかで、綺麗だな、規則性がありそうだな。

そんな数学的見方を引き出したいですね。

今日はその最序盤の授業展開について書いていきます。

想定は2～3時間です。

まずは復習

大きな水槽に毎分2センチずつ水を入れます。経過した時間を$x$軸、水面の高さを$y$軸として、グラフに表しなさい。

という問題で導入が好きです。

連続量になることと、絵に表しやすいからです。

そこで、絵を描きながら、小学校のグラフを総復習していきます。

いちばん大切なのは表に表すことです。

そして、$y=2x$という式で表せること。

ここで、$x$の値を$y=2x$に代入すること。

$x$が1増えると、$y$が2増えることをきちんと抑えます。

$x$を代入すると、$y$の値が出ることが大切です。

負の世界への拡張

次は今書いた表に$x$が、負の場合を付け足していきます。

そして

｢今から問題から離れて、数字だけで遊んでいくよ。水槽の話はちょっと忘れてね。

もし、$x$が負の数字を取れるようになったら、$y$の値はどうなるんだろうか？｣

と尋ねます。

子どものなかで混乱する子がいると思います。

だって、$x$が0より前なら、水槽に水は入っていないので、$y$も0ではないかと考えるからです。

啓林館の教科書では、それを避けるために水を入れ始めてから、ある程度たった時間を$x=0$
とみなして問題を出しています。

ただ、これはこれでその場面状況を理解するまで時間がかかります。

負の数の世界になると、形式的な側面が増えてきます。

逆に慣れさせるチャンスと思って、水槽は置いておいて、話を進めます。

そうすると、

$x$が1増えると、$y$が2増えることは抑えてあるので、

$x$が1減ると･･･

と考え出します。

そうすれば、表は完成できます。

問題は、どのようにグラフに表すかです。

ここで、座標軸の書いてある黒板（ありますよね？）を取り出し、負の値まであるグラフを紹介します。

1つ、2つ、一緒に点を取って、残りは書かせましょう。

できる子は、

｢さっきかいた線の延長じゃん｣

と気づきます。

この気づきを取りあげ全体に広めましょう。

自分たちで比例定数を決めよう

さて、ここまで来たら、子どもに比例定数を決めさせて、もう2つ3つ、習熟のためにグラフをかかせます。

私が授業した時は、$a=1,2,5$が出てきました。

グラフをかくと次のようになります。

ここで、

｢何か気づいたことはありますか？｣

と考えさせます。

引き出したい気づきは4つです。

ここ辺りはきっと出てくると思いますし、出てこなかったら、数学的な見方をもっと鍛えたいものです。

2は直ぐに子どもたちは回答できます。

3もみんな同意するでしょう。

問題は1と、4です。

結構、1の気づきに対して、

｢比例定数を負の値にすればよい｣

という子どもは一定数います。

ピンチはチャンス。

実際に負の値の表とグラフをかかせて（比例定数も子どもに決めさせて）かかせると良いです。

分数という子ももちろんいるので、セットでかかせましょう。

比例定数が負の数をとると

先の章の話を納得したら、比例定数が負の数のグラフをかく練習をします。

ここはあえて教師が比例定数を指定します。

$a=−1,−2,−5$です。

私の意図分かりますか？

放射状の模様が出来ますよね。

そして、比例のグラフは｢必ず原点を通る｣ことにも気づかせることができます。

ちなみに（原点はなんでＯなの？）

原点のＯはoriginの略語です。

原初とか、起源という訳になります。

｢グラフのど真ん中であり、負の数や正の数がここから伸びていくからoriginじゃないかな。｣

と子どもに伝えて、定期テストに問題を出したところ、｢原点｣と書かずに｢オリジン｣とほとんどの子どもが書いてきました。

丸にしましたが、答案返却日後、徹底指導しました（苦笑）

まとめ

です。

感想を教えてください！

一次関数では、並行に模様作りをしていきます。（放射状の模様作りもしますが）

こちらをチェックしてください！

参考文献

結城浩（2019）．｢数学ガールの秘密ノート/学ぶための対話｣．SBクリエイティブ